[原创]中考试题中的费马问题的对策

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14 1月
2022

[原创]中考试题中的费马问题的对策

(2022-01-07 10:02:18)

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费马问题

最值

妙招

分类: 教学

中考题中的费马问题的对策 

大罕 

     在三角形所在平面内找一点,使它到三顶点的距离之和最小,这类问题称为费马问题。

     这一问题,知识点全在初中几何范围内,运用构造和转化的思想,采用添加辅助线的常规方法,通过旋转变换的技巧,完美地解决问题。这类问题涉及到的知识点诸多,例如等腰、等边三角形的性质、全等或相似三角形的判定与性质、勾股定理等。由于其综合性较强,需要一定的知识因素、能力因素、经验因素和非智力因素,从而具有较强的思考价值和考核功能,因此,近十余年来,不断地出现在各地中考试卷上,和自主招生的压轴题中。

     关于中考题中的费马问题,采取的对策分两点叙述。一是解题的对策,二是教学上的对策。

    需要指出的是,虽然费马问题分三角形最大内角小于和不小于120°的两种情况,但是作为考试题,一般只会涉及第一种情谒,即费马点在三角形形内。
     

    解题需因题而异。对策之一,“返朴归真”的思路:把形内一点与两顶点构成的三角形以其中一顶点为中心旋转60°,找到全等的三角形,从而可知该点到三顶点距离之和转化为一条折线的长度,根据两点间线段最短,于是成为了两点距离的问题。

     例1、(2009年湖州中考题)若点P为ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做ABC的费马点.
        若P为锐角ABC的费马点,∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB=(  ) .

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       如图,在锐角ABC的外侧作等边ACB′,连接BB′,求证:BB′过ABC的费马点,且BB=PA+PB+PC.

     解:如图1,∠PAB+∠PBA =180°-120°=60°,∠PBC+∠PBA =60°,
      ∴∠PAB=∠PBC,又∠APB=∠BPC=120°,PABPBC, 

     ∴PA/PB=PB/PC,∴PB^2=PA•PC=12,∴PB=2√3. 

     在BB′上取点P,使∠BPC=120°, 连接AP,再在PB′上截取PE=PC,连接CE, 如图2,
      ∠BPC=120°,∴∠CPE=60°,
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     ∴CPE为正三角形, ∴PC=CE=PE,
     易证ACPB′CE,∴PA=EB′,且∠APC=∠B′EC=120°,

      ∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°, ∴P为ABC的费马点,
     ∴BB′过ABC的费马点P,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.

     例2、(2019年武汉中考题)问题背景:如图3,将ABC绕点A逆时针旋转60°得到ADE,DE与BC交于点P,可推出结论:PA+PC=PE.
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     问题解决:如图4,在MNG中,MN=6,∠M=75°,MG=4√2,点O是MNG内一点,则点O到MNG三个顶点的距离和的最小值是( ).

  

     解:如图5,将MGO绕点M逆时针旋转60°得到MFH,则GO=FH,

      MOH为正三角形,∴MO=OH,

     ∴MO+NO+GO=NO+OH+HF,
     当N、O、H、F四点共线时,(MO+NO+GO)min =(NO+OH+HF)min=NF,[原创]中考试题中的费马问题的对策
      过点F作FTMN,交MN延长线于点T,

     ∠NMG=75°,
     ∴∠FMT=180°-∠NMG-∠GMF=180°-75°-60°=45°,
     在RtFMT中,FT=MT=(√2/2)MF=(√2/2)MG=4,
     ∴NT=NM+MT=6+4=10,
     在RtFNT中,FN^2=10^2+4^2=116,

     ∴FN=2√29.

 
      另解:作正AGF,NF即欲求的费马距离,过F作FT⊥MN,交MN的延长线于点T,如图6,     
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 ∠FMT=180°-75°-60°=45°,

      在RtFMT中,FT=MT=(√2/2)MF=(√2/2)MG=4,

      ∴NT=NM+MT=6+4=10,                     
     在RtFNT中,FN^2=10^2+4^2=116,

     ∴FN=2√29.

     对策之二,“直通车”的思路:利用现成的结论,直接算出最小值。所谓现成结论是指,平面内到三角形三顶点距离之和的最小值称为费马距离.而费马距离是形外共边正三角形第三顶点与原三角形第三顶点的连线长.这种解法对于选填题尤显奇效,值得记取和使用.

     例3、(2008年广东中考题)正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为√2+√6,求此正方形的边长.[原创]中考试题中的费马问题的对策

     解:连接AC,本题即为已知ABC的费马距离为√2+√6,求AB的长.

     设AB=x,作正ABF,FC即为费马距离,如图7,

     FC=√[(FC)^2+(HC)^2] =x(√2+√6)/2,
     ∴x(√2+√6)/2=√2+√6,∴x=2.即正方形边长为2.

     例4、(2009年北京中考题)在平面直角坐标系xOy中,ABC三个顶点的坐标分别为A(-6,0)、B(6,0)、C(0,4√3),延长AC到点D,使CD=(1/2)AC,过点D作DE//AB交BC的延长线于点E,

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       如图8,求D点的坐标;

       作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF,EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,如图9,确定此直线的解析式;

       设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,如图10,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.

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     解:如图8,D(3,6√3)(过程略);如图9,y=-√3x+6√3(过程略).

      如图10,设点P在GA上运动速度为v,则点P在y轴上运动的速度为2v,总共花的时间是MQ/2v+QA/v=(MQ+2QA)/2v,所花时间欲最少,即MQ+2QA=QM+QA+QB最小..因此,本题化为:正MAB边长为12,求正三角形的费马点G位置.

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       线段AM′必过费马点,又已知费马点在y轴上,

     ∴费马点G就是AM′与y轴的交点,
     在RtAOG中,OG=AO•tan30°=6•(√3/3)=2√3.

     即G点坐标为(0,2√3).

     关于教学上的对策,建议在复习课中,要用一二课时专门介绍一下费马点的相关知识。明确告诉学生,“费马距离”有可供套用的办法.之所以要专门介绍一下,是因为这样的题目如果完全陌生,在考试现场很难想到采用旋转妙招.当然不必纠缠于此“大动干戈”、大做文章。总之要把握好一个“度”,即可.

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